ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.

Автор: Салтыкова Елена Анатольевна, учитель первой категории Православной гимназии с. Городня

Данная работа предназначена для учителей математики, обучающихся и их родителей. Она поможет учащимся лучше усвоить деление чисел, упростит вычисление, облегчит работу на уроках и дома, повысит интерес учеников к математике и исследовательской работе. Учителя могут использовать данный  материал  как на уроках, так и на внеурочных занятиях.

            Мир чисел многообразен. Начиная с начальной школа, а чаще всего и в детском саду, учащиеся учатся выполнять разные арифметические действия с числами. Тяжелее всего дается деление.

            В 6 классе для упрощения вычислений изучаются признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10. Эти признаки позволяют учащимся быстро определить, делится ли данное число на 2, 3, 5, 9 или 10 и выполнить деление. При этом мы должны постоянно обращать внимание на то, что деление происходит без остатка.  Но этих признаков бывает недостаточно. Всегда в любом классе найдется ребенок, который захочет узнать, а если еще какие-нибудь признаки. И мы отвечаем: «Да, но с ними вы познакомитесь позже». А ведь возможно показать хотя бы некоторые признаки учащимся во внеурочной деятельности, так как отведенного времени на уроках на этого не хватит. А поможет нам в этом исследовательская деятельность, которой должен владеть каждый.

                 Исследовательская деятельность школьников – это организованная творческая и познавательная работа учеников, которая соответствует по своей структуре научной деятельности и формирует в результате исследовательские умения, познавательные мотивы, способствует усвоению новых знаний и способов деятельности.

            При развитии исследовательской деятельности учащихся основными задачами педагога становятся:

·                     актуализация исследовательской потребности ученика;

·                     вовлечение в поисковую деятельность;

·                     поиск средств, активизирующий процесс познания;

·                     помощь в выработке индивидуальной стратегии познания;

·                     содействие в осознании исследования как отражении познавательной потребности;

·                     доведение ученика до результативности в деятельности;

·                     создание условий, стимулирующих познавательную активность.

Желание исследовать появляется в ученике, когда он чувствует свою успешность в этом процессе. Это зависит от учителя, его умения организовать деятельность ученика и признание её ценности для окружающих, для сверстников.

 

Основные этапы научного исследования:

   - постановка проблемы,

   - знакомство с литературой по данной проблематике,

   - овладение методикой исследования,

   - сбор материала,

   - его анализ и обобщение,

   - формулирование выводов.

   Попробуем организовать исследовательскую работу на тему «Признаки делимости на 4, 6, 15, 18 и 20». Возможно, работать над этой темой учащимся лучше после изучения «Простые и составные числа», «Разложение на простые множители», ведь перечисленные числа являются составными.

   Постановка проблемы: какие числа будут делиться на 4, 6, 15, 18, 20 и 25.

   Лучше рассматривать каждый признак по отдельности. Но сначала вспомним все, что мы знаем по данной теме. Сформулируем известные нам признаки делимости, но сначала попробуем с помощью справочной литературы найти определение «признак делимости» или попросить учащихся самим попробовать сформулировать.

   Определение. Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.

   Признак делимости на 2. Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то оно на 2 без остатка не делится.

 

Признак делимости на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если запись числа оканчивается другой цифрой, то оно число без остатка на 5 не делится.

   Признак делимости на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой ), то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

   Признак делимости на 3.  Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

   Признак делимости на 9.  Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

   Теперь вспомним какие числа называют простыми, а какие составными.

   Определение. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

   Определение. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

   Можно попросить назвать учащихся простые и составные числа (однозначные, двузначные и трехзначные).

   Какое число можно разложить на простые множители? (составное)

   Итак, вспомнив все необходимые определения, мы приступаем к исследованию. Начнем с признака делимости на 4.

   4 – составное число. Разложим его следующим образом на простые множители: 4=2*2. Вспоминаем признак делимости на 2. И получается, что всякое четное число должно делится на 4. Но ведь это не так. Предлагаем учащимся разделить на 4 следующие числа: 318, 536, 470, 902, 864, 560, 900, 658 (можно взять и другие числа). Что заметили? В какие две группы можно разделить эти числа?

Делятся на 4: 536, 864, 560, 900.

Не делятся на 4: 318, 470, 902, 658.

   Очень тяжело сделать вывод о деление числа на 4, поэтому обращаем внимание на последние две цифры в числе. Что заметили? Попробуйте сделать вывод.

   Признак делимости чисел на 4. На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.

   Приведите примеры многозначных чисел, которые делятся (не делятся) на 4.

   Рассмотрим признак делимости на 6. Для этого вспомним разложение числа 6 на простые множители: 6=2*3. Вспоминаем признаки делимости на 2 и 3, объединяем их и делаем вывод.

   Признак делимости чисел на 6 .На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно, то есть  все четные числа, которые делятся на 3.

 Приведите примеры многозначных чисел, которые делятся на 6.

   Используя эту схему рассуждений, можно попросить учащихся самих сформулировать признаки делимости на 15, 18. Разложение на множители: 15=3*5. Получаем:

   Признак делимости на 15.  Натуральное число делится на 15, если оно заканчивается на 5 или на 0 и сумма цифр делится на 3.

   При выведении признака делимости на 18 учащимся придется столкнуться с некоторыми трудностями. Если разложить число 18 на простые множители как 18=2*3*3, то они получат признак делимости на 6. Здесь при выведении правила число 18 представляем в следующем виде: 18=2*9. Тогда получается следующий признак.

Признак делимости на 18. Натуральное число  делится на 18, если оно заканчивается на чётную цифру и сумма его цифр делится на 9.

   Какое число будет делиться на 20?  Разложим число 20 на простые множители: 20=2*2*5. Получаем, что число либо четное, либо оканчивается на 0 или 5. Объединяем эти два условия в одно, следовательно, число, которое делится на 20, только оканчивается на 0. Возьмем несколько чисел с 0 на конце, например: 5670, 4860, 2090, 1340. Попробуем каждое из них разделить на 20. Что заметили? Не все числа нацело разделились Делаем вывод.

   Признак делимости на 20. Натуральное число делится на 20, если число заканчивается на 0 и предпоследняя цифра четная.

   Для учащихся 6 класса можно предложить вывести признаки делимости на 25 и 50. Они не окажутся для них сложными.

   Признак делимости чисел на 25. На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25 (оканчиваются на 25, 50 и 75).

   Признак делимости чисел на 50. На 50 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или 50.

   Работать над этой темой можно вместе со всем классом во время внеурочной деятельности. Я считаю, что всех ребят можно вовлечь в эту работу.  Если разбираться с этим материалом вместе в классе, то в качестве домашнего задания можно попросить ребят сделать презентации по этой теме. Но признаков делимости много. Более сильные учащиеся могут самостоятельно вывести еще какие-нибудь признаки делимости и оформить в виде презентации.

   Исследование - это всегда поиск, приводящий к выявлению зависимостей и отношений. В организации исследовательской деятельности учащихся я следую высказыванию Д.Пойа «… в решении любой задачи присутствует крупица открытия».